Før gymnasiet er du nok stødt på en eller flere af følgende sætninger inden for geometrien:
"Omkredsen af en cirkel er to π gange radius"
"Arealet af en trekant er halvdelen af højden ganget med grundlinjen"
"Volumenet af en pyramide er en tredjedel af højden ganget med grundfladens areal "
Sætningerne angiver præcise matematiske variabelsammenhænge, så vi vil nu indføre matematikkens koncentrerede skrivemåde. Vi omskriver sætningerne til formler:
 |  |  |
 |  |  |
Størrelserne omkreds, radius, areal osv. er vist ved ordenes forbogstaver, og der er indført lighedstegn. Bogstaverne er i virkeligheden blot ”pladsholdere” for talværdier, så formlerne afslører noget generelt, der skal gælde om de tre typer af geometriske figurer.
Lad os se på den formel, der gælder om arealet af en trekant:
Hvis vi har en trekant med h = 4 og g = 8, kan vi bestemme arealet ved at indsætte i formlen:
Hvis tallene stammer fra nogle målinger, bør vi anføre måleenheder efter tallene. En gavl på et hus med grundlinjen 8 m og højden 4 m har således arealet:
I det følgende vil vi dog for nemheds skyld udelade enheder i beregningerne og blot anføre en eventuel enhed i den tilhørende tekst. Men vær opmærksom på, at der i de naturvidenskabelige fag er en tradition for altid at medtage enheder - din fysiklærer elsker enheder.
Om trekantsformlen vil matematikeren umiddelbart tænke: ”Jeg kan let beregne arealet af en trekant, når bare jeg kender højden og grundlinjen". Hun kan med andre ord frit vælge værdierne af h og g, men hendes valg vil resultere i en bestemt værdi af A. De variable størrelser spiller på den måde forskellige roller, og rollefordelingen afhænger af hvilken størrelse, der står alene på venstre side af lighedstegnet. I eksemplet optræder A som den afhængige variabel og h og g som uafhængige variable.
Vi kan ændre rollefordelingen ved at "flytte rundt" på bogstaverne i formlen. Hertil skal vi benytte reglerne for omformning af ligninger, der gælder generelt - altså også når vi arbejder med bogstaver. Hvis vi ganger med 2 og derpå dividerer med h på begge sider af lighedstegnet, kan vi isolere g:
Det kan se ud til, at der er opstået en ny matematisk sammenhæng, men det er ikke tilfældet. Det matematiske indhold i den sidste formel er præcis det samme som i den første (i omformningen må vi dog forudsætte at h ikke er nul, da man ikke kan dividere med 0). Men i den sidste formel ser vi situationen fra en anden synsvinkel. Nu er A og h de uafhængige variable, hvis værdier vi frit kan vælge, og g, der står alene på venstre side, er den afhængige variabel. Vi kan bruge denne udgave af sammenhængen til at bestemme g, når A og h er kendte. Hvis en trekant har arealet 100 og højden 10 får vi for grundlinjen:
Vi kunne selvfølgelig også have indsat talværdierne i den første formel og derpå løst ligningen med hensyn til g. Med A = 100 og h = 10 fås så:
Altså samme værdi som før.
I formler, hvor der indgår mere end to variable, kan vi forenkle ligningen ved at fastlåse en af de variable. Fx kan vi give A værdien 100 i ligningen g = 2A/h:
I trekanten nedenfor kan du undersøge denne sammenhæng nærmere.
Lad os opsummere nogle af årsagerne til, at formler er så anvendelige i matematik:
Er formlerne så kun et fænomen i matematikkens abstrakte univers? Nej, de geometriske figurer ovenfor optræder jo i virkelige sammenhænge, hvor konkrete længder kan måles med et målebånd (fx gavlen på et hus). Og i ikke-geometriske problemstillinger viser det sig, at det forbavsende ofte er muligt at opstille formler, der knytter andre typer af målelige størrelser sammen. Det skal vi se mange eksempler på i de følgende afsnit.
Forklar hvad den afhængige og uafhængige variabel er i formlen for cirklens omkreds:
I mange sammenhænge vil en variabel størrelse naturligt indtage rollen som enten afhængig eller uafhængig variabel. Fx siger vi, at pulsen afhænger af farten, når vi kører på cykel, og vel ikke, at farten afhænger af pulsen. Det skyldes, at der er en kausal (årsag-virkning) sammenhæng mellem de to størrelser. Du kører med en vis fart, og det har som virkning, at du får en bestemt puls. Afgør, hvilken variabel der er uafhængig, og hvilken der er afhængig i følgende situationer:
BMI står for Body Mass Index og er en rettesnor for om en person vejer for meget eller for lidt. Sammenhængen mellem en persons BMI, højde h (målt i m) og vægt v (målt i kg) er givet ved
I USA benyttes fahrenheittemperaturer i stedet for celsiustemperaturer. Man kan beregne en fahrensheittemperatur (f ) ud fra en celsiustemperatur (c ) ved brug af formlen:
Sammenhængen mellem vægten m (i gram) og rumfanget V (i milliliter) af 100% rent alkohol er givet ved
En sten slippes og falder frit mod jorden. Sammenhængen mellem faldvejen s (målt i meter) og tiden t (målt i sekunder) er givet ved
